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Le taux d'actualisation : définition, calcul et impact sur la valorisation

Tout comprendre au taux d’actualisation

Comment procéder à la valorisation d’un projet ? Qu’est-ce qu’un taux d’actualisation ? Comment est-il calculé et comment est-il appliqué dans la pratique ? Quelle est la différence entre la valeur actuelle et la valeur future d’un flux ? En quoi consiste la Valeur Actuelle Nette ? Comment est-elle calculée et comment est-elle appliquée dans la pratique ? Comment comparer les projets dont les flux apparaissent à des moments différents ? Comment l’argent prend ou perd de la valeur à travers le temps ?

le taux d'actualisation

Comment procéder à la valorisation d’un projet ?

L’évaluation d’un projet repose sur la comparaison de ses coûts et de ses bénéfices et doit toujours tenir compte de la valeur que prend l’argent à travers le temps. En effet, ces coûts et ces bénéfices ne sont généralement pas immédiats, mais apparaissent à des moments différents. Il s’agit donc de les actualiser au temps présent afin de pouvoir calculer les flux actuels des bénéfices et les flux actuels des coûts et dégager ainsi la valeur actuelle nette (VAN). L’actualisation de ces flux futurs s’effectue en appliquant un taux d’actualisation.

Afin de pouvoir mener à bien ces calculs, il convient de mobiliser des connaissances multiples en marketing, en comptabilité, en économie et en stratégie d’entreprise. Ce travail n’est pas du ressort exclusif d’un financier. Par contre, il incombe à ce dernier de comparer les coûts et les bénéfices et da valoriser le projet pour savoir s’il convient ou non d’investir.


Le taux d’actualisation : un taux de change intertemporel

Le taux d’actualisation correspond au taux sans risque qui permet de calculer la valeur des flux futurs à la date d’aujourd’hui. Par convention, ce taux est exprimé en base annuelle. Il consiste à convertir une somme d’argent « future » en une somme d’argent « actuelle », selon la règle : 1 € dans un an est équivalent à 1 / (1+t) € aujourd’hui. De manière symétrique, 1 € aujourd’hui est équivalent à (1 +t) € dans un an.

Connaitre le taux d’actualisation permet en effet d’évaluer les coûts et bénéfices d’un projet lorsqu’ils ne se produisent pas au même moment, de la manière qu’un taux de change permet de comparer les coûts et bénéfices d’un projet exprimés dans des monnaies différentes.

La différence entre la valeur actuelle et la valeur future

Que vaut aujourd’hui la réception d’un montant de 204 000 € dans un an ? Autrement dit, combien devrait-on placer aujourd’hui pour obtenir 204 000 € dans un an ? Avec un taux d’actualisation à 3 %, on doit placer 204 000 € / (1 + 3 %) = 198 058,26 €.

Calculer la valeur future d’un projet (appelée également la valeur acquise ou la valeur à terme) revient à exprimer les coûts et les bénéfices en euros à une date future – ici, dans un an. Pour que les flux d’aujourd’hui soient équivalents aux flux dans X années, il faut les multiplier par (1+t)x.
Par contre, calculer la valeur actuelle (qualifiée aussi de valeur présente) d’un projet revient à exprimer les coûts et les bénéfices en euros aujourd’hui. Pour que les flux de X années soient comparables aux flux d’aujourd’hui, il faut les multiplier par 1 / (1+t)x.
Le terme 1 / (1 + t) constitue le facteur d’actualisation à un an pour un investissement sans risque.

En quoi consiste la VAN ?

La Valeur actuelle nette (VAN) d’un projet se calcule comme la différence entre la valeur actuelle de bénéfices et la valeur actuelle des coûts :

VAN = VA (Bénéfices) – VA (Coûts)

La VAN d’un projet s’interprète comme la valeur actuelle de la richesse créée par le projet. Ce dernier ne doit pas être retenu que si sa VAN est positive, pour enrichir celui qui l’entreprend. En revanche, un projet à VAN négative détruit la valeur, et appauvrissent ceux qui les entreprennent.
Prenant l’exemple suivant : Investir 1 000 € aujourd’hui rapporte avec certitude 1 100 € dans un an. Etant donné que le taux d’intérêt sans risque d’aujourd’hui est de 5 %, quelle la VAN de ce projet ? Vaut-il la peine d’y investir ?

Réponse : La VAN du projet dans ce cas est égal à 1 100 / (1 + 5 %) – 1 000 = 47,62 €. La VAN de ce projet est positive, donc il convient de mettre en œuvre ce projet.

Accepter un projet à VAN positive revient au même que recevoir immédiatement la VAN du projet en espèce : cet exemple nous montre qu’en lançant le projet, l’entrepreneur s’enrichit de 47,62 immédiatement sans engagement (car les bénéfices futurs du projet compensent exactement les coûts futurs).
Tout projet peut être représenté sur un échéancier en tant qu’une séquence de flux, où les sorties d’argent (les dépenses et investissements) sont des flux négatifs et où les entrées d’argent (les recettes) sont des flux positifs.

Comparaison des projets

Si vous voulez choisir entre plusieurs projets, il convient de retenir celui dont la VAN est la plus élevée. Un entrepreneur veut faire son choix entre trois projets

  • Projet A : permet de dégager un flux aujourd’hui de 84 € et un flux dans un an de 84 €
  • Projet B : permet de dégager un flux aujourd’hui de – 40 € et un flux dans un an de 288 €
  • Projet C : permet de dégager un flux aujourd’hui de – 200 et un flux dans un an de 450 €

Pour un taux d’intérêt sans risque (taux d’actualisation) de 20 %, quel projet doit-il retenir ?
La VAN de chaque projet est la suivante :

  • Projet A : 84 + 84 / (1+ 20 %) = 144 €
  • Projet B : - 40 + 288 / (1+20 %) = 200 €
  • Projet C : - 200 + 450 (1 + 20 %) = 175 €

Les trois projets ont ainsi une VAN positive et sont par définition des projets créateurs de richesse. Si cela est possible, il devrait les accepter tous. S'il ne pourrait accepter qu’un seul, il doit retenir le projet B car il dispose de la VAN la plus élevée : 200 €.

Comment l’argent prend ou perd de la valeur à travers le temps ?

Les décisions financières impliquent le plus souvent de comparer des flux qui se produisent à différentes dates. Ces comparaisons doivent suivre trois étapes :

Etape 1 : comparer les flux

Seuls les flux exprimés dans une même devise peuvent être comparés. Ainsi, 1 € aujourd’hui et 1 € demain ne pas égaux. Disposer immédiatement d’une certaine somme d’argent à plus de valeur que de disposer de cette somme dans le futur. Pour comparer des flux à différents dates, il faut les transposer dans le temps.


Etape 2 : Transposer des flux dans le futur

On dispose de 2 000 € aujourd’hui. On veut déterminer le montant équivalent à cette somme dans un an. Si le taux d’intérêt est de 10 % dans le marché, il est possible d’utiliser ce taux d’intérêt comme taux d’actualisation pour transposer les flux dans le futur : 1 000 € aujourd’hui * 1,1 = 1 100 € dans un an
Si vous vous savoir le montant équivalent à 2 000 € dans deux ans, on a donc :
{(2 000 € dans deux ans) * (1,1)} * 1,1 = 2 000 € * 1,12= 2 420 €
En règle générale, pour transposer un flux f dans x périodes futures, il convient de le « capitaliser » x fois. Cela veut dire qu’il faut multiplier le flux F par x facteurs de taux d’actualisation t :

Valeur actuelle d’un flux = F / (1+t)x

Exemple concret : Comprendre la puissance de la capitalisation

Placer 2 000 € sur un compte rémunéré au taux annuel de 10 % (taux d’actualisation) permet de recevoir 200 € d’intérêt à la fin de la première année, soit une richesse totale de 2 200 €. La deuxième année, les intérêts versés sont de 220 €. Sur ce montant, les intérêts sur les intérêts représentent 20 €. Qu’en est au bout de 10 ans ? En utilisant la formule de la valeur future, on obtient :
2 000 € * (1 + 10 %)10= 5 187,5
Le montant des intérêts payés la 11ème année est égal à 10 % de 5 187,5, soit 518,75 €. Sur ce montant, 200 € correspondent aux intérêts sur le placement initial de 2 000 € et 318,75 € correspondent à des intérêts sur les intérêts passés. Ainsi, en 10 ans, le solde de ce compte a été multiplié par 2,5. Que se passe-t-il les 10 années suivantes ? Au terme de ces années, le solde du compte est de :
2 000 € * (1+10 %)20 = 2 000 * (1 + 10 %)10 * (1 + 10 %)10 = 45 259,26 €
Ainsi, la richesse obtenue par euro investi pendant 20 ans n’est pas le double de celle obtenue en 20 ans, mais son carré (2,52, soit 6,25 par euro investi). Il s’agit d’une croissance géométrique.


Etape 3 : Transposer des flux dans le passé

Cette troisième étape consiste à transposer un flux dans le passé. On souhaite connaitre la valeur aujourd’hui de 2 000 € à recevoir dans un an. Si le taux d’intérêt est de 10 %, on a donc :
(2 000 € dans un an) / (1,1) = 1818,18 € aujourd’hui
Maintenant, supposons que vous anticipez de recevoir 2 000 € dans les deux prochaines années, on a donc :
{(2 000 € dans deux ans) / (1,1)} / 1,1 = 2 000 € / 1,12 = 1 652,90 €
En règle générale, pour transposer un flux F jusqu’à un point x périodes avant qu’il ne se produise, il faut « l’actualiser » x fois. Cela veut dire qu’il faut diviser le flux F par x facteurs de taux d’actualisation t :
Valeur actuelle d’un flux = F / (1+t)x


Exemple concret : Comprendre la valeur actuelle d’une séquence de flux quelconque

Un entrepreneur a besoin d’argent pour s’acheter une machine. Son ami accepte de lui prêter l’argent nécessaire. L’entrepreneur s’engage à rembourser le prêt dans les quatre ans et propose d’offrir son ami une rémunération égale au taux d’un placement bancaire.
L’entrepreneur pense pouvoir verser 5 000 € dans un an puis 8 000 € par an les trois années suivantes. Si le taux d’intérêt est de 6 %, quelle somme l’entrepreneur peut-il emprunter à son ami ?

Solution :
Le montant du prêt est équivalent à la valeur actuelle des flux promis par l’entrepreneur :
VA = (5 000 / 1,06) + (8 000 / 1.062) + (8 000 / 1,063) + (8 000 / 1,064)
= 4 716,98 + 7 119,97 + 6 716,95 + 6 336,75
= 24 890,65 €
L’ami peut prêter 24 890,65 € en échange des paiements promis. Ce montant est inférieur à la somme des versements (5 000 + 8 0000 + 8 000 + 8 000) = 29 000 €) en raison de la valeur que prend l’argent à travers le temps. Pour son ami, prêter cette somme à l’entrepreneur plutôt que de la placer sur un compte rémunéré revient-il au même ?
- Si son ami avait placé pendant quatre ans 24 890,65 € à la banque au taux de 6 %, il aurait obtenu en fin de période : VF = 24 890,65 * (1,06)4 = 31 423,87 € dans quatre ans.
- Si son ami prêt l’argent à son fils et place sur un compte rémunéré les flux qu’il reçoit de l’entrepreneur au titre des remboursements, la valeur future disponible pour son ami va être 31 423,88 €
Ainsi son ami dispose bien de la même somme finale, et ce qu’il place son argent sur un compte rémunéré ou qu’il le prête à l’entrepreneur. Donc, si on veut calculer la valeur future d’une séquence de flux, on peut le faire directement (le second cas de l’exemple ci-dessus) ou calculer d’abord la valeur actuelle et ensuite transposer dans le futur (premier cas). Chacune de ces démarches donnent le même résultat final.


Résumé de cette partie :

Ces trois étapes permettent de comparer et de combiner des flux qui se produisent à différents moments :
Etape 1 : Seul des flux exprimés à une même date peuvent être comparés ou combinés
Etape 2 : Pour transposer des flux dans le futur, il faut les capitaliser
Valeur future d’un flux : VF = F * (1+t)x
Etape 3 : pour transposer des flux dans le passé, il faut les actualiser
Valeur actuelle d’un flux : VA = F / (1+t)x


Autre exemple concret

Placement de 2 000 € par an pendant trois ans à partir d’aujourd’hui. Si le taux d’intérêt annuel est de 10 %, de quelle somme va-t-on disposer dans trois ans ?
Solution : Il existe plusieurs manières de répondre à cette question. E, plus des deux méthodes citées plus haut, on peut calculer la valeur actuelle de chaque flux (soit en prenant les flux indépendamment les uns des autres, soit en cumulant leurs valeurs actuelles à chaque étape) puis transposer dans trois ans.
En actualisant, on obtient : 2 000 € + 2 000 € / (1,1) + 2 000 € / (1,1)2
= 2 000 € + 1818,18 € + 652,9 € = 5 471,08 €
Ainsi, placer 5 471,08 aujourd’hui est équivalent à placer 2 000 € par an pendant trois ans. La valeur future à la date 3 de ce placement est alors de :
VF = 5 471,08 * (1,1)3 = 7 282 €
Autre exemple concret
Vous comptez investir 2 000 € aujourd’hui dans un projet et dégager un flux de trésorerie à hauteur de 1 000 € à la fin de chacun des trois prochaines années. Quelle est la VAN de ce projet et comment peut-il en disposer autrement ?
Solution :
L’investissement de départ 2 000 € représente un flux négatif et les revenus ultérieurs sont des flux positifs. Afin de savoir s’il convient ou pas d’accepter ce projet, il faut calculer la VAN de la séquence de flux :
VAN = - 2 000 + (1 000 / 1,1) + (1 000 / 1,1)2 + (1 000 / 1,1)3 = 486,86 €
La VAN est donc positive, ce qui laisse dire que les bénéfices actualisés excèdent les coûts. Vous pouvez donc accepter cette option, car elle est équivalent à recevoir 486,86 € aujourd’hui.
Si vous voulez disposer de ce gain immédiatement vous pouvez emprunter 2 486,86 € aujourd’hui et investir 2 000 € et avoir ainsi 486,86 € maintenant. Ainsi, dans trois ans, vous devez rembourser :
VF = 2 486,86 * (1,1)3 = 3 310 €
Parallèlement, votre projet vous permet de bénéficier de 1 000 € à la fin de chacune des trois prochaines années, ce qui va donner lieu à :
VF = (1 000 * 1,12) + ( 1 000 * 1,1) + 1 000 = 1 310 €
Vous pouvez donc utiliser cette somme pour rembourser le prêt et payer les intérêts associés. Ainsi, profiter de l’opportunité de placement vous permet de gagner immédiatement 243,43 €.


Conclusion sur le taux d'actualisation

Les entrepreneurs investissent lorsqu’ils estiment, compte tenu des informations qu’ils ont, que les bénéfices l’emportent sur les coûts. En pratique, il s’avère complexe parfois de comparer les coûts et les bénéfices d’un projet, surtout lorsqu’ils sont étalés dans le temps et sont fluctuants. Pour décider d’effectuer tel projet plutôt que tel autre, il faut pouvoir exprimer ces coûts et ces bénéfices en termes comparables aussi bien dans leur monnaie de change que dans leur moment d’apparition. A cette fin, il convient d’apprendre des outils permettant une comparaison fiable entre coûts et bénéfices lorsqu’ils se produisent à des instants différents, en l’occurrence le taux d’actualisation. Le taux d'actualisation est très utile pour calculer les free cash flow
  

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